Friedrich Wille's Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung PDF

By Friedrich Wille

ISBN-10: 3322947653

ISBN-13: 9783322947659

ISBN-10: 3519027534

ISBN-13: 9783519027539

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem challenge: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen intestine, die in großer Vielzahl auf ihn ein­ stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die research hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage­ stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe­ griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri­ schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau­ bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren research hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor­ suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit ein neuer Weg beschritten wird.

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Mit n n). 10) K n wird beliebig klein, wenn nur n beliebig groß gewählt wird (wie in Abschn.

D. \- o. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip (s. Anhang AS, Satz A6) gibt es gen aue i n e Zahl a, die in allen Intervallen [A k , Bk ] liegt. Wählt man nacheinander aus jedem [Ab Bk] ein ank der Folge aus (mit nt < n2 < ... < nk< ... \- 0, also lim ank = a, k .... ~ womit der Satz ftir m = 1 bewiesen ist. (11) Es sei nun m;;;' 2. Ist {an} C Rm eine beschränkte Vektorfolge mit der Komponentendarstellung an = (a\n), a~), ... , a~»T, so ist auch jede der Komponentenfolgen {a \n)} n EC N beschränkt.

1 WeIche reellen Lösungen x besitzt die Gleichung 3 xS x- - - -=O? 6 4 (2. 3) 4 beschriebenen Kurven ein (s. Fig. 2. 1). Die Schnittpunkte dieser Kurven liefern die gesuchten Lösungen. Fig. 1 zeigt, daß in der Nähe von x = 0,8 und x = 1,2 Lösungen zu erwarten sind. Wir gehen im folgenden von GI. 5 Fig. 2. 1 Lösunfcn a und b dcr Gleichung x 3 x= 6+ 4 32 2 Kontraktive Abbildungen - Konvergenz beschreiben. 4) wird Fix P unk t g lei c h u n g genannt. Setzt man in fex) eine Zahl x =Xo ein, die in der Nähe einer zu erwartenden Lösung liegt, z.

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Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung by Friedrich Wille


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